岩手大学
2011年 人文社会科学 第2問
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以下の問いに答えよ.
(1) 自然数$n$に関する次の命題を証明せよ.
(ⅰ) $n$を$3$で割った余りが1ならば,$n^2$を$3$で割った余りは$1$である.
(ⅱ) $n$が$3$の倍数であることは,$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である.
(2) $100$から$999$までの$3$桁の自然数について,次の問いに答えよ.
(ⅰ) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか. [$\tokeini$)] $0$が現れないものは何個あるか.
(ⅲ) $0$または$1$が現れるものは何個あるか.
(3) $1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする.$U$の要素のうち,$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$,また,$U$の要素のうち,偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする.いま$A$と$B$は$U$の部分集合で,次の$2$つの条件を満たすものとする.
[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$ [(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$
このとき,集合$A$の要素をすべて求めよ.ただし,$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする.
(1) 自然数$n$に関する次の命題を証明せよ.
(ⅰ) $n$を$3$で割った余りが1ならば,$n^2$を$3$で割った余りは$1$である.
(ⅱ) $n$が$3$の倍数であることは,$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である.
(2) $100$から$999$までの$3$桁の自然数について,次の問いに答えよ.
(ⅰ) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか. [$\tokeini$)] $0$が現れないものは何個あるか.
(ⅲ) $0$または$1$が現れるものは何個あるか.
(3) $1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする.$U$の要素のうち,$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$,また,$U$の要素のうち,偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする.いま$A$と$B$は$U$の部分集合で,次の$2$つの条件を満たすものとする.
[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$ [(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$
このとき,集合$A$の要素をすべて求めよ.ただし,$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする.
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