広島大学
2016年 理系 第3問
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複素数平面上を,点$\mathrm{P}$が次のように移動する.
(ⅰ) 時刻$0$では,$\mathrm{P}$は原点にいる.時刻$1$まで,$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると,$z_1=1$である.
(ⅱ) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると,$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である.
(ⅲ) 以下同様に,時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする.ただし$n$は自然数である.
$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として,次の問いに答えよ.
(1) $z_3,\ z_4$を求めよ.
(2) $z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき,$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく.$w$を求めよ.
(4) $z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ.
(ⅰ) 時刻$0$では,$\mathrm{P}$は原点にいる.時刻$1$まで,$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると,$z_1=1$である.
(ⅱ) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると,$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である.
(ⅲ) 以下同様に,時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする.ただし$n$は自然数である.
$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として,次の問いに答えよ.
(1) $z_3,\ z_4$を求めよ.
(2) $z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき,$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく.$w$を求めよ.
(4) $z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ.
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