滋賀大学
2015年 文系 第4問
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座標平面において,点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形のうち,点$\mathrm{A}_1(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え,その頂点を$\mathrm{A}_1$から反時計回りに,$\mathrm{B}_1$,$\mathrm{C}_1$,$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{E}_1$,$\mathrm{F}_1$とする.同様に,$2$以上の自然数$n$に対して,$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円に内接する正六角形のうち,点$\mathrm{A}_n(n,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え,その頂点を$\mathrm{A}_n$から反時計回りに,$\mathrm{B}_n$,$\mathrm{C}_n$,$\mathrm{D}_n$,$\mathrm{E}_n$,$\mathrm{F}_n$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}_1}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.
\imgc{464_2631_2015_1}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $s,\ t$を実数として,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が,正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数とし,頂点$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする.
(3) 点$\mathrm{B}_3$,$\mathrm{C}_7$,$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $s,\ t$を実数として,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が,正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数とし,頂点$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする.
(3) 点$\mathrm{B}_3$,$\mathrm{C}_7$,$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
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