大阪府立大学
2011年 理系 第4問
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![次の問いに答えよ．(1)自然数nに対して，s_n=Σ_{k=1}^n\frac{k}{2^k}とする．このとき数学的帰納法により，s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}であることを示せ．(2)a_1=0,a_2=1とし，自然数nに対して，a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1を満たす数列{a_n}について以下の問いに答えよ．\mon[(i)]b_n=a_{n+1}-a_nとするとき，数列{b_n}が満たす漸化式を求めよ．\mon[(ii)]b_nを(1)で与えたs_nを用いて表せ．\mon[(iii)]数列{a_n}の一般項a_nを求めよ．](./thumb/507/2706/2011_4.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 自然数$n$に対して，$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$とする．このとき数学的帰納法により， \[ s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} \] であることを示せ．
(2) $a_1=0,\ a_2=1$とし，自然数$n$に対して，$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ．
[(i)] $b_n=a_{n+1}-a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めよ． [(ii)] $b_n$を(1)で与えた$s_n$を用いて表せ． [(iii)] 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(1) 自然数$n$に対して，$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$とする．このとき数学的帰納法により， \[ s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} \] であることを示せ．
(2) $a_1=0,\ a_2=1$とし，自然数$n$に対して，$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ．
[(i)] $b_n=a_{n+1}-a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めよ． [(ii)] $b_n$を(1)で与えた$s_n$を用いて表せ． [(iii)] 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
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