宮城教育大学
2014年 教育学部（中等数学） 第1問
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数列$\{a_n\}$は
$a_1=a_2=-1,$
$a_{n+2}-(n+2)a_{n+1}+na_n=(n^2+n+1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) 数学的帰納法を用いて， \[ a_{n+1}-na_n=(n-1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle b_n=\frac{a_n}{(n-1)!}$とおくとき，$(1)$を用いて数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
$a_1=a_2=-1,$
$a_{n+2}-(n+2)a_{n+1}+na_n=(n^2+n+1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) 数学的帰納法を用いて， \[ a_{n+1}-na_n=(n-1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle b_n=\frac{a_n}{(n-1)!}$とおくとき，$(1)$を用いて数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
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