茨城大学
2014年 工学部 第3問
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$\mathrm{OA}=\sqrt{3}$,$\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$となる三角形$\mathrm{OAB}$がある.三角形$\mathrm{OAB}$の内部の点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とすると,
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の各問に答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ.
(2) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき,$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ.
[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは,点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ.
(2) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき,$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ.
[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは,点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである.
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