新潟大学
2011年 理系 第5問
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実数$a,\ b,\ c$に対して,$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $f(-1),\ f(0),\ f(1)$が整数であるならば,すべての整数$n$に対して,$f(n)$は整数であることを示せ.
(2) $f(2010),\ f(2011),\ f(2012)$が整数であるならば,すべての整数$n$に対して,$f(n)$は整数であることを示せ.
(1) $f(-1),\ f(0),\ f(1)$が整数であるならば,すべての整数$n$に対して,$f(n)$は整数であることを示せ.
(2) $f(2010),\ f(2011),\ f(2012)$が整数であるならば,すべての整数$n$に対して,$f(n)$は整数であることを示せ.
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コメント(2件)
2015-07-13 17:05:22
作りました。よく出る問題ですが難しいです。(2)はxをずらして考えるところとか特に難しく、慣れてないと書き方も難しいです。より、一般的に、「nを自然数、f(x)をn次多項式とする。f(0),f(1),…,f(n)が整数ならば、すべての整数kに対し、P(k)は整数である(1993年 東工大)」が成り立ちます。数学的帰納法で示せますが、当時出来は非常に悪かったそうです(汗)。あと、1997年の名古屋大でほぼ同じ問題(年号の2011のところの数字が1997になっただけ)が出題されています。 |
2015-07-11 21:19:40
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