三重大学
2012年 医学部 第4問
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以下の問いに答えよ．
(1) 関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2) 実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3) (2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して， \[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \] とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
(1) 関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2) 実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3) (2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して， \[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \] とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
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