$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1) $p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc} p & q \\ 0 & p \end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc} p & q \\ 0 & p \end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2) $X=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc} a^n & na^{n-1}b \\ 0 & a^n \end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3) $m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc} 2^{m+1} & 2^{50} \\ 0 & 2^{m+1} \end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．