三重大学
2010年 人文学部 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) $p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2) 自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3) $a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．
(1) $p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2) 自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3) $a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．
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