正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに動くとする．$n$を正の整数として，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{A}$に戻る経路の数を$\alpha_n$，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{B}$に到達する経路の数を$\beta_n$とする．このとき，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{C}$に到達する経路の数も，$\mathrm{D}$に到達する経路の数も$\beta_n$となる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし$\alpha_0=1$，$\beta_0=0$とする．
(1) $\alpha_2,\ \beta_2,\ \alpha_2+3 \beta_2,\ \alpha_3,\ \beta_3,\ \alpha_3+3 \beta_3$を求めよ．
(2) $n \geqq 1$に対し$\alpha_n,\ \beta_n$を$\alpha_{n-1},\ \beta_{n-1}$で表せ．
(3) $c_n=\alpha_n-\beta_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(4) $\alpha_n$の一般項を求めよ．