三重大学
2013年 医学部 第4問
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$e$で自然対数の底を表す．関数$f(x)$を
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1) 関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2) 定積分 \[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \] を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(1) 関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2) 定積分 \[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \] を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．
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コメント（3件）
2015-06-25 22:36:28
解答の掲載、並びにアドヴァイスありがとうございます。 このアドヴァイスを念頭に解いてみます。 |
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2015-06-24 07:12:10
作りました。医学部用の問題でこの年で最難なので、結構重量級です。今の時点で計算ミスせず最後までたどり着くのは至難の業かもしれませんが、偶関数であることの証明や（奇関数）×（偶関数）＝（奇関数）になること、∫_{-n}^n （奇関数）dx=0などの１つずつのパーツ（事実）は理解して使えるようにしておいてください。 |
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2015-06-23 23:16:23
2013年/三重大学医学部/第四問の解答を作成して下さい。 私的理由ですが本学医学部を志望していますので、解答を載せて頂いたら幸いです。 ぜひよろしくお願いします。 |
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