三重大学
2013年 医学部 第3問
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正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．$n$を$0$以上の整数とし，点$\mathrm{P}$が$n$秒後に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にある確率を，それぞれ$p_n,\ q_n,\ r_n,\ s_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1) $n \geqq 1$に対し$q_n=r_n=s_n$となることを数学的帰納法で証明せよ．
(2) $n \geqq 1$に対し$p_n,\ q_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1}$で表せ．ただし，$p_0=1,\ q_0=0$とする．
(3) $c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(4) $p_n$の一般項を求めよ．
(1) $n \geqq 1$に対し$q_n=r_n=s_n$となることを数学的帰納法で証明せよ．
(2) $n \geqq 1$に対し$p_n,\ q_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1}$で表せ．ただし，$p_0=1,\ q_0=0$とする．
(3) $c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(4) $p_n$の一般項を求めよ．
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