松山大学
2013年 薬学部 第3問
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$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(5,\ 0)$,$\mathrm{B}(5,\ 4)$,$\mathrm{C}(0,\ 4)$を頂点とする長方形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}(5,\ m)$,$\mathrm{Q}(n,\ 4)$がある.また,$\angle \mathrm{POQ}={45}^\circ$,$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とする.
(1) $\tan \theta$を$m$で表すと$\displaystyle \tan \theta=\frac{m}{\fbox{ア}}$である.$\tan (\theta+{45}^\circ)$を$n$で表すと$\displaystyle \tan (\theta+{45}^\circ)=\frac{\fbox{イ}}{n}$である.
(2) $(1)$の結果を利用して,$m$を$n$で表すと,$\displaystyle m=\frac{\fbox{ウエ}}{n+4}-\fbox{オ}$である.また,$n$の値の範囲は$\displaystyle \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \leqq n \leqq \fbox{ク}$である.
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき,$S$を$n$で表すと
$\displaystyle S=\fbox{ケコ}-\frac{\fbox{サシ}n}{n+4}+\frac{\fbox{ス}}{2}n$
\quad $\displaystyle =\frac{\fbox{セ}}{2}(n+4)-\frac{\fbox{ソタ}(n+4)-\fbox{チツ}}{n+4}$
\quad $\displaystyle =\frac{\fbox{セ}}{2}(n+4)+\frac{\fbox{チツ}}{n+4}-\fbox{ソタ}$となる.
したがって,$S$の最小値は$\fbox{テト}(\sqrt{\fbox{ナ}}-1)$となり,そのとき,$n=\fbox{ニ}(\sqrt{\fbox{ヌ}}-1)$である.
(1) $\tan \theta$を$m$で表すと$\displaystyle \tan \theta=\frac{m}{\fbox{ア}}$である.$\tan (\theta+{45}^\circ)$を$n$で表すと$\displaystyle \tan (\theta+{45}^\circ)=\frac{\fbox{イ}}{n}$である.
(2) $(1)$の結果を利用して,$m$を$n$で表すと,$\displaystyle m=\frac{\fbox{ウエ}}{n+4}-\fbox{オ}$である.また,$n$の値の範囲は$\displaystyle \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \leqq n \leqq \fbox{ク}$である.
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき,$S$を$n$で表すと
$\displaystyle S=\fbox{ケコ}-\frac{\fbox{サシ}n}{n+4}+\frac{\fbox{ス}}{2}n$
\quad $\displaystyle =\frac{\fbox{セ}}{2}(n+4)-\frac{\fbox{ソタ}(n+4)-\fbox{チツ}}{n+4}$
\quad $\displaystyle =\frac{\fbox{セ}}{2}(n+4)+\frac{\fbox{チツ}}{n+4}-\fbox{ソタ}$となる.
したがって,$S$の最小値は$\fbox{テト}(\sqrt{\fbox{ナ}}-1)$となり,そのとき,$n=\fbox{ニ}(\sqrt{\fbox{ヌ}}-1)$である.
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