慶應義塾大学
2014年 環境情報学部 第5問
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数列$\{a_n\}$に対してつぎのように定められる数列$\{b_n\}$を$\{a_n\}$の階差数列という.
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とし,$\{c_n\}$の階差数列を$\{d_n\}$としよう.いま
\[ a_1=1,\quad b_1=2,\quad c_1=4 \]
であり,$d_n$はすべて$8$に等しいとする.このとき
\[ a_5=\fbox{$101$}\fbox{$102$},\quad a_6=\fbox{$103$}\fbox{$104$}\fbox{$105$},\quad a_7=\fbox{$106$}\fbox{$107$}\fbox{$108$} \]
であり,一般に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,
\[ a_n=\frac{1}{3} \left( \fbox{$109$}\fbox{$110$}n^3-\fbox{$111$}\fbox{$112$}n^2+\fbox{$113$}\fbox{$114$}n-\fbox{$115$}\fbox{$116$} \right) \]
である.
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