東京理科大学
2014年 薬学部(生命創薬科) 第1問
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白,赤,黄,緑の$4$色に光るライトがある.はじめ,ライトの色は白であり,$1$分経過するごとに,次のルールでライトの色が変わるものとする.ただし,ライトの色が白のときについては$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$,それ以外の色のときについては$n=1,\ 2,\ \cdots$とする.
(ⅰ) $n$分後に白のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤,黄,緑になる.
(ⅱ) $n$分後に赤のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,黄,緑になる.
(ⅲ) $n$分後に黄のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,赤,緑になる. [$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,赤,黄になる.
$n$を自然数とし,$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$,また,$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする.
(1) $\displaystyle P_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\ Q_2=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である.
(2) $P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると,自然数$n$に対して,$n$が$3$以上のとき,
$\displaystyle P_n=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \left( \fbox{キ}-{\left( -\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \right)}^{n-1} \right)$
$\displaystyle Q_n=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \left( \fbox{シ}+\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} {\left( -\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \right)}^{n-1} \right)$
である.
(ⅰ) $n$分後に白のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤,黄,緑になる.
(ⅱ) $n$分後に赤のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,黄,緑になる.
(ⅲ) $n$分後に黄のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,赤,緑になる. [$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき,$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白,赤,黄になる.
$n$を自然数とし,$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$,また,$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする.
(1) $\displaystyle P_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\ Q_2=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である.
(2) $P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると,自然数$n$に対して,$n$が$3$以上のとき,
$\displaystyle P_n=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \left( \fbox{キ}-{\left( -\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \right)}^{n-1} \right)$
$\displaystyle Q_n=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \left( \fbox{シ}+\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} {\left( -\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \right)}^{n-1} \right)$
である.
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