座標平面上に，原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$がある．原点$\mathrm{O}$を通り，$\overrightarrow{u}=(2,\ -1)$を方向ベクトルとする直線を$\ell$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{P}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}+t \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{Q}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2) $\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ．
(3) 直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s,\ t$を用いて表せ．
(4) $\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．