福井大学
2016年 工学部 第2問
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四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し,長さがすべて$1$である.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり,$\angle \mathrm{BOD}=\theta$,$\cos \theta=x$とおく.線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$,線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$,三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を,$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を,$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と,そのときの$x$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を,$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を,$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と,そのときの$x$の値を求めよ.
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