高知大学
2011年 理学部・医学部 第3問
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連続関数$f(x)$に対して，
\[ g(x)=\int_0^x (f(t)+2) \sin (x-t) \, dt \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 定積分$\displaystyle \int_0^x (t+2) \sin (x-t) \, dt$を求めよ．
(2) $\displaystyle g(x)=\sin x \int_0^x (f(t)+2) \cos t \, dt-\cos x \int_0^x (f(t)+2) \sin t \, dt$を示せ．
(3) 関数$g(x)$の導関数$g^\prime(x)$は$\displaystyle g^\prime(x)=\int_0^x (f(t)+2) \cos (x-t) \, dt$となることを示せ．
(4) 関数$g^\prime(x)$の導関数$g^{\prime\prime}(x)$は$g^{\prime\prime}(x)=f(x)-g(x)+2$となることを示せ．
(5) 任意の実数$x$に対して$g(x)=f(x)$が成り立つとき，$f(x)$を求めよ．
(1) 定積分$\displaystyle \int_0^x (t+2) \sin (x-t) \, dt$を求めよ．
(2) $\displaystyle g(x)=\sin x \int_0^x (f(t)+2) \cos t \, dt-\cos x \int_0^x (f(t)+2) \sin t \, dt$を示せ．
(3) 関数$g(x)$の導関数$g^\prime(x)$は$\displaystyle g^\prime(x)=\int_0^x (f(t)+2) \cos (x-t) \, dt$となることを示せ．
(4) 関数$g^\prime(x)$の導関数$g^{\prime\prime}(x)$は$g^{\prime\prime}(x)=f(x)-g(x)+2$となることを示せ．
(5) 任意の実数$x$に対して$g(x)=f(x)$が成り立つとき，$f(x)$を求めよ．
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