$\triangle \mathrm{OAB}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1) 辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2) $t$は$\displaystyle 0<t<\frac{1}{3}$の範囲にある実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$3t:1-3t$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OAH}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$k$倍となるとき，$k$を$t$を用いて表せ．
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$が直角に交わるとき$t$の値を求めよ．