早稲田大学
2015年 教育 第1問
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次の各問に答えよ.
(1) 整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり,$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという.このとき,$P(x)$を \[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \] で割ったときの余りを求めよ.
(2) 座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ -1)$,$\mathrm{C}(-1,\ 1)$,$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある.実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき,$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$,$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える.このとき,$5$本の線分の長さの和 \[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \] が最小となるような$x$の値を求めよ.ただし,$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする.
(3) $1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする.このとき,選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ.
(4) 座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える.ただし,$a$は$a>0$をみたす定数とする.楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が,次の$2$つの条件をみたしているとする.
(ⅰ) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ,$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で接する.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である.
このとき,$a$の値を求めよ.
(1) 整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり,$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという.このとき,$P(x)$を \[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \] で割ったときの余りを求めよ.
(2) 座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ -1)$,$\mathrm{C}(-1,\ 1)$,$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある.実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき,$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$,$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える.このとき,$5$本の線分の長さの和 \[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \] が最小となるような$x$の値を求めよ.ただし,$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする.
(3) $1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする.このとき,選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ.
(4) 座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える.ただし,$a$は$a>0$をみたす定数とする.楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が,次の$2$つの条件をみたしているとする.
(ⅰ) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ,$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で接する.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である.
このとき,$a$の値を求めよ.
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