中央大学
2015年 商(会計、商業・貿易) 第3問
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曲線$C_1:y=x^3$を考える.点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$における$C_1$の接線$\ell$は,$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$で$C_1$と交わっている.このとき,以下の設問に答えよ.ただし
\[ \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+L \quad (L \text{は積分定数}) \]
である.
(1) 点$\mathrm{B}$の座標を求めよ.
(2) 実数の定数$a,\ b,\ c$に対し,曲線$C_2:y=ax^2+bx+c$を考える.$C_2$が点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通り,さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間の点$\mathrm{E}$($\mathrm{E} \neq \mathrm{A},\ \mathrm{E} \neq \mathrm{B}$)で$C_1$と交わるとき,$c$が満たす必要十分条件を求めよ.
(3) $C_2$および$\mathrm{E}$は前問と同様とし,$c$は前問の必要十分条件を満たしている.「$\mathrm{A}$,$\mathrm{E}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_1$,「$\mathrm{E}$,$\mathrm{B}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_2$とする.$S_1=S_2$であるとき,$c$の値を求めよ.
(1) 点$\mathrm{B}$の座標を求めよ.
(2) 実数の定数$a,\ b,\ c$に対し,曲線$C_2:y=ax^2+bx+c$を考える.$C_2$が点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通り,さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間の点$\mathrm{E}$($\mathrm{E} \neq \mathrm{A},\ \mathrm{E} \neq \mathrm{B}$)で$C_1$と交わるとき,$c$が満たす必要十分条件を求めよ.
(3) $C_2$および$\mathrm{E}$は前問と同様とし,$c$は前問の必要十分条件を満たしている.「$\mathrm{A}$,$\mathrm{E}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_1$,「$\mathrm{E}$,$\mathrm{B}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_2$とする.$S_1=S_2$であるとき,$c$の値を求めよ.
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