福井大学
2010年 医学部 第4問
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![pを0でない実数とし,行列A,Bをそれぞれ次のように定める.このとき,以下の問いに答えよ.A=\biggl(\begin{array}{cc}p-1/p&1\\2&-p\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\1/p&-1\end{array}\biggr)(1)等式A^{-1}=aA+bEが成り立つ定数a,bをpで表せ.ただし,Eは2次の単位行列である.(2)AB=Cとおく.E+Cの逆行列が存在することを示し,さらに自然数mに対して等式E-C+C^2-C^3+・・・-C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1}が成り立つことを示せ.(3)p=√3とし,自然数nに対しD_n=E-C+C^2-C^3+・・・-C^{6n-1}とおく.行列D_nの表す1次変換により点(2,3)が点(x_n,y_n)に移されるとする.x_nおよび\frac{y_n}{x_n}を求めよ.](./thumb/366/2546/2010_4.png)
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$p$を0でない実数とし,行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める.このとき,以下の問いに答えよ.
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]
(1) 等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ.ただし,$E$は2次の単位行列である.
(2) $AB=C$とおく.$E+C$の逆行列が存在することを示し,さらに自然数$m$に対して等式 \[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \] が成り立つことを示せ.
(3) $p=\sqrt{3}$とし,自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく.行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする.$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ.
(1) 等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ.ただし,$E$は2次の単位行列である.
(2) $AB=C$とおく.$E+C$の逆行列が存在することを示し,さらに自然数$m$に対して等式 \[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \] が成り立つことを示せ.
(3) $p=\sqrt{3}$とし,自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく.行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする.$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ.
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