金沢大学
2010年 理系 第2問
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![座標空間において,中心がA(0,0,a)(a>0)で半径がrの球面x^2+y^2+(z-a)^2=r^2は,点B(√5,√5,a)と点(1,0,-1)を通るものとする.次の問いに答えよ.(1)rとaの値を求めよ.(2)点P(cost,sint,-1)について,ベクトルベクトルABとベクトルAPを求めよ.さらに内積ベクトルAB・ベクトルAPを求めよ.(3)△ABPの面積Sをtを用いて表せ.また,tが0≦t≦2πの範囲を動くとき,Sの最小値と,そのときのtの値を求めよ.](./thumb/355/1277/2010_2.png)
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座標空間において,中心がA$(0,\ 0,\ a) \ (a>0)$で半径が$r$の球面
\[ x^2+y^2+(z-a)^2 = r^2 \]
は,点B$(\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ a)$と点$(1,\ 0,\ -1)$を通るものとする.次の問いに答えよ.
(1) $r$と$a$の値を求めよ.
(2) 点P$(\cos t,\ \sin t,\ -1)$について,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ.さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ.
(3) $\triangle$ABPの面積$S$を$t$を用いて表せ.また,$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くとき,$S$の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(1) $r$と$a$の値を求めよ.
(2) 点P$(\cos t,\ \sin t,\ -1)$について,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ.さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ.
(3) $\triangle$ABPの面積$S$を$t$を用いて表せ.また,$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くとき,$S$の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
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