獨協医科大学
2010年 医学部 第4問
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![原点をOとする座標平面上の動点Pの位置ベクトルベクトルOP=(x,y)が,時刻tの関数として,x=e^{-2t}cos2πt,y=e^{-2t}sin2πtで表されている.(1)点Pの速度ベクトルベクトルv=(dx/dt,dy/dt)の大きさは,|ベクトルv|=[]\sqrt{[]+π^2}e^{-2t}である.(2)ベクトルOPとベクトルvのなす角をαとするとき,cosα=\frac{[]}{\sqrt{[]+π^2}}であり,これは時刻tによらない一定値である.(3)nを自然数として,t=n-1からt=nまでの間に点Pが動く道のりS_nは,S_n=\sqrt{[]+π^2}(e^{[]}-[])e^{-2n}である.また,Σ_{n=1}^{∞}S_n=\sqrt{[]+π^2}である.(4)t=0からt=1/4までの間に点Pがえがく曲線と,x軸,y軸とで囲まれる図形の面積Iは,I=∫_a^bydx=∫_{1/4}^0ydx/dtdtで求められる.このときa=[],b=[]で,I=∫_0^{1/4}e^{-4t}{sin[*]πt+π(1-cos[*]πt)}dtである.](./thumb/101/2273/2010_4.png)
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が,時刻$t$の関数として,$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$,$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている.
(1) 点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは,$|\overrightarrow{v}|=\fbox{} \sqrt{\fbox{}+\pi^2}e^{-2t}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき,$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\fbox{}}{\sqrt{\fbox{}+\pi^2}}$であり,これは時刻$t$によらない一定値である.
(3) $n$を自然数として,$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は, \[ S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2} \left( e^{\fbox{}}-\fbox{} \right) e^{-2n} \] である.また,$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2}$である.
(4) $t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と,$x$軸,$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は,$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる.このとき$a=\fbox{}$,$b=\fbox{}$で,$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin \fbox{$\ast$} \pi t+\pi (1-\cos \fbox{$\ast$} \pi t) \} \, dt$である.
(1) 点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは,$|\overrightarrow{v}|=\fbox{} \sqrt{\fbox{}+\pi^2}e^{-2t}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき,$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\fbox{}}{\sqrt{\fbox{}+\pi^2}}$であり,これは時刻$t$によらない一定値である.
(3) $n$を自然数として,$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は, \[ S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2} \left( e^{\fbox{}}-\fbox{} \right) e^{-2n} \] である.また,$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2}$である.
(4) $t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と,$x$軸,$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は,$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる.このとき$a=\fbox{}$,$b=\fbox{}$で,$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin \fbox{$\ast$} \pi t+\pi (1-\cos \fbox{$\ast$} \pi t) \} \, dt$である.
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