東京医科歯科大学
2014年 医学部 第1問
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自然数$n$に対し,$3$個の数字$1,\ 2,\ 3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の全体の集合を$S_n$とおく.$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$に対し,次の$2$つの条件を考える.
条件$\mathrm{C}_{12}$:$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
条件$\mathrm{C}_{123}$:$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$,$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
例えば,$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが,条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない.
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち,条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$,条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $f(4)$と$g(4)$を求めよ.
(2) $f(n)$を$n$を用いて表せ.
(3) $g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ.
(4) $g(n)$を$n$を用いて表せ.
条件$\mathrm{C}_{12}$:$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
条件$\mathrm{C}_{123}$:$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$,$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
例えば,$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが,条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない.
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち,条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$,条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $f(4)$と$g(4)$を求めよ.
(2) $f(n)$を$n$を用いて表せ.
(3) $g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ.
(4) $g(n)$を$n$を用いて表せ.
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