名城大学
2015年 理工学部 第4問
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数列$\{a_n\}$を$a_n=2^{n+1}-3 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．このとき，定積分
\[ I_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \{ \log (x+3)-n \log 2 \} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の問に答えよ．
(1) $a_{n+1}=\alpha a_n+\beta \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つように，定数$\alpha,\ \beta$の値を定めよ．
(2) $x=\alpha t+\beta$と置くことにより，$I_{n+1}=\alpha I_n$が成り立つことを示せ．
(3) $I_1$を求めよ．
(4) $I_n$を求めよ．
(1) $a_{n+1}=\alpha a_n+\beta \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つように，定数$\alpha,\ \beta$の値を定めよ．
(2) $x=\alpha t+\beta$と置くことにより，$I_{n+1}=\alpha I_n$が成り立つことを示せ．
(3) $I_1$を求めよ．
(4) $I_n$を求めよ．
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