岐阜大学
2013年 理系 第4問
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正の整数$n$について，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1) 関数$f_2(x)$を求めよ．
(2) 関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3) $g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．
(1) 関数$f_2(x)$を求めよ．
(2) 関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3) $g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．
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