次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．ただし，空欄$\fbox{サシ}$は$2$桁の数をあらわす．
(1) $k$を自然数とすると \[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=\fbox{ア} \] である．
(2) 直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし，曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする．直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする．関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので，直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである．その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと， \[ h=\frac{1}{\fbox{イ}} \sin^2 t \] となる．また，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは \[ p=\fbox{ウ}t+\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}} \sin^2 t \] となる．この等式の右辺を$f(t)$とおく．
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え，その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると，$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる．ここで，$p=f(t)$とおいて置換積分すれば， \[ V=\frac{\pi}{\fbox{キ}} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \] が成り立つ．$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \pi$より，$\displaystyle V=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サシ}} \pi^2$である．