次の空欄$\fbox{ア}$，$\fbox{イ}$，$\fbox{キ}$，$\fbox{ケ}$，$\fbox{コ}$に当てはまるものをそれぞれ指定された解答群の中から選べ．それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．
$i$は虚数単位とし，$\alpha$は$0$でない複素数とする．複素数平面上で実部と虚部がともに整数となる点を格子点と呼ぶことにする．
(1) 複素数平面上に$4$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\alpha+i \alpha)$，$\mathrm{C}(i \alpha)$をとると，四角形$\mathrm{OABC}$は正方形になる．このとき，次が成立する．
(ⅰ) $\alpha$の実部を$a$，虚部を$b$とおく．$\mathrm{A}$が格子点であるとき，$\mathrm{B}$は$\fbox{ア}$．
(ⅱ) $\alpha+i \alpha$の実部を$a$，虚部を$b$とおく．$\mathrm{B}$が格子点であるとき，$\mathrm{A}$は$\fbox{イ}$．
(2) $\displaystyle \gamma=\cos \frac{2\pi}{5}+i \sin \frac{2\pi}{5}$とおくと，$\displaystyle \overline{\gamma}=\gamma^{-1}=\cos \frac{2\pi}{5}-i \sin \frac{2\pi}{5}$である． \[ \displaystyle \gamma^4+\gamma^3+\gamma^2+\gamma+1=\frac{\gamma^5-1}{\gamma-1}=\fbox{ウ} \] であることを用いれば， \[ \displaystyle \gamma+\gamma^{-1}=\frac{-\fbox{エ}+\sqrt{\fbox{オ}}}{\fbox{カ}} \] がわかる．
複素数平面上に$5$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\alpha+\gamma \alpha)$，$\mathrm{C}(\alpha+\gamma \alpha+\gamma^2 \alpha)$，$\mathrm{D} \left( \fbox{キ} \right)$をとると，五角形$\mathrm{OABCD}$は正五角形になる．
以下，$\alpha$の実部を$a$，虚部を$b$とおく．$\mathrm{A}$は格子点であるとする．このとき， \[ |\alpha+\gamma \alpha|^2=(a^2+b^2) \left( \gamma+\gamma^{-1}+\fbox{ク} \right) \] であるので，$\mathrm{B}$は$\fbox{ケ}$．また，$\mathrm{OC}^2=\mathrm{OB}^2$であるので，$\mathrm{C}$は$\fbox{コ}$．
ア，イ，ケ，コの解答群
[$\nagamarurei$] 必ず格子点になる [$\nagamaruichi$] $a,\ b$が共に偶数のときのみ格子点になる [$\nagamaruni$] $a,\ b$が共に奇数のときのみ格子点になる [$\nagamarusan$] $a+b$が偶数のときのみ格子点になる [$\nagamarushi$] $a+b$が奇数のときのみ格子点になる [$\nagamarugo$] 格子点にはならない
キの解答群 \begin{center} \begin{tabular}{llllllllll} $\nagamarurei \ \ \gamma \alpha$ & & $\nagamaruichi \ \ -\gamma \alpha$ & & $\nagamaruni \ \ \gamma^2 \alpha$ & & $\nagamarusan \ \ \gamma^3 \alpha$ & & $\nagamarushi \ \ \gamma^5 \alpha$ \\ $\nagamarugo \ \ \gamma^{-1} \alpha$ & & $\nagamaruroku \ \ -\gamma^{-1} \alpha$ & & $\nagamarushichi \ \ -\gamma^{-2} \alpha$ & & $\nagamaruhachi \ \ \alpha+\gamma^2 \alpha$ & & $\nagamarukyu \ \ \alpha-\gamma^2 \alpha$ \end{tabular} \end{center}