次の各問の$\fbox{}$にあてはまる数を各解答群から選べ．同一のものを何回使用してもよい．
(1) 白玉$2$個，赤玉$4$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$5$回続けて行うとき，ちょうど$4$回白玉が出る確率は，$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$である．
$\langle\!\langle$解答群$\rangle\!\rangle$ \[ \begin{array}{lclclclclc} $\nagamaruA$ & 1 & $\qquad\nagamaruB$ & 2 & $\qquad\nagamaruC$ & 3 & $\qquad\nagamaruD$ & 4 & $\qquad\nagamaruE$ & 5 \\ $\nagamaruF$ & 9 & $\qquad\nagamaruG$ & 10 & $\qquad\nagamaruH$ & 27 & $\qquad\nagamaruI$ & 81 & $\qquad\nagamaruJ$ & 243 \end{array} \]
(2) $\displaystyle \frac{x+y}{3}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{7} \ \ (\neq 0)$のとき
$\displaystyle \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{ア}\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$である．
$\langle\!\langle$解答群$\rangle\!\rangle$ \[ \begin{array}{lclclclclc} $\nagamaruA$ & 0 & $\qquad\nagamaruB$ & 1 & $\qquad\nagamaruC$ & 2 & $\qquad\nagamaruD$ & 3 & $\qquad\nagamaruE$ & 4 \\ $\nagamaruF$ & 5 & $\qquad\nagamaruG$ & 6 & $\qquad\nagamaruH$ & 7 & $\qquad\nagamaruI$ & 8 & $\qquad\nagamaruJ$ & 9 \end{array} \]
(3) $0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$のとき，関数$\displaystyle y=2 \sin^2 \theta+3 \cos \theta+\frac{1}{8}$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{ア}\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$で，そのとき，$\displaystyle \tan \theta=\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}}$である．
また，最小値は，$\displaystyle -\frac{\fbox{カ}\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$で，そのとき，$\tan \theta=\fbox{ケ}$である．
$\langle\!\langle$解答群$\rangle\!\rangle$ \[ \begin{array}{lclclclclc} $\nagamaruA$ & 0 & $\qquad\nagamaruB$ & 1 & $\qquad\nagamaruC$ & 2 & $\qquad\nagamaruD$ & 3 & $\qquad\nagamaruE$ & 4 \\ $\nagamaruF$ & 5 & $\qquad\nagamaruG$ & 6 & $\qquad\nagamaruH$ & 7 & $\qquad\nagamaruI$ & 8 & $\qquad\nagamaruJ$ & 9 \end{array} \]
(4) 関数$f(x)=(\log_2 2x)^2+\log_2 (2x)^3+\log_2 x+2$は，$\displaystyle x=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$のとき，最小値$-\fbox{ウ}$をとる．
$\langle\!\langle$解答群$\rangle\!\rangle$ \[ \begin{array}{lclclclclc} $\nagamaruA$ & 0 & $\qquad\nagamaruB$ & 1 & $\qquad\nagamaruC$ & 2 & $\qquad\nagamaruD$ & 3 & $\qquad\nagamaruE$ & 4 \\ $\nagamaruF$ & 5 & $\qquad\nagamaruG$ & 6 & $\qquad\nagamaruH$ & 7 & $\qquad\nagamaruI$ & 8 & $\qquad\nagamaruJ$ & 9 \end{array} \]
(5) 一般項が$X_n=100+3n$，$Y_n=50+2X_n$で与えられる数列$\{X_n\}$，$\{Y_n\}$に対して \[ \frac{\sum_{k=1}^{30} (X_k-A)Y_k }{\sum_{k=1}^{30} (X_k-A)^2} \quad \bigg( \text{ただし，} \ \ A=\frac{\sum_{k=1}^{30}X_k}{30} \bigg) \] の値を求めることを考える．ここで \[ Z_k=\frac{X_k-A}{\sum_{k=1}^{30}(X_k-A)^2} \] とおくと，与式は$Z_k$を用いて$\displaystyle \sum_{k=1}^{30}Z_kY_k$と書き換えられる．ところが \[ \sum_{k=1}^{30}Z_k=\fbox{ア},\quad \sum_{k=1}^{30} Z_kX_k=\fbox{イ} \] であるので，与式の値は$\fbox{ウ}$となる．
$\langle\!\langle$解答群$\rangle\!\rangle$ \[ \begin{array}{lclclclclc} $\nagamaruA$ & 0 & $\qquad\nagamaruB$ & 1 & $\qquad\nagamaruC$ & 2 & $\qquad\nagamaruD$ & 3 & $\qquad\nagamaruE$ & 4 \\ $\nagamaruF$ & 5 & $\qquad\nagamaruG$ & 6 & $\qquad\nagamaruH$ & 7 & $\qquad\nagamaruI$ & 8 & $\qquad\nagamaruJ$ & 9 \end{array} \]
$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=8$，$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{OB}=6$とし，その重心を$\mathrm{G}$，内接円の中心（内心）を$\mathrm{I}$とすると，$\mathrm{GI}$と$\mathrm{AB}$が平行であることを次のように証明する．
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{\fbox{ア}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$である．また，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とすると， \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{\fbox{イ} \overrightarrow{a}+\fbox{ウ} \overrightarrow{b}}{\fbox{エ}} \] である．さらに \[ \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{\fbox{オ} \overrightarrow{a}+\fbox{カ} \overrightarrow{b}}{\fbox{キク}} \] から