$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$p:(1-p) \ \ (0<p<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OC}$を$q:(1-q) \ \ (0<q<1)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し，次の空欄$\fbox{タ}$～$\fbox{ツ}$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ． \[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( \fbox{タ} \right) \overrightarrow{a}+\left( \fbox{チ} \right) \overrightarrow{b}+\left( \fbox{ツ} \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots \ \ \maruichi \]
(2) ${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$\fbox{テ}$～$\fbox{ト}$に適切な値や式を記せ．
$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$は，いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから， \[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots \ \ \maruni \] かつ， \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\fbox{テ} \quad \cdots\cdots \ \ \marusan \] $\maruichi,\ \maruni,\ \marusan$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる． \[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( \fbox{ト} \right) \quad \cdots\cdots \ \ \marushi \]
(3) 点$\mathrm{D}$，点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$上を動くとき，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$\fbox{ナ}$～$\fbox{ネ}$に適切な値や式を記せ．
$\marushi$は次のように変形できる． \[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-\fbox{ナ} \right)^2+\left( q-\fbox{ニ} \right)^2+\fbox{ヌ} \right\} \quad \cdots\cdots \ \ \marugo \] $\marugo$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=\fbox{ナ}$，$q=\fbox{ニ}$のとき最小値$\fbox{ネ}$をとる．