次の各設問の$\fbox{1}$から$\fbox{8}$までの空欄と$\fbox{}$に適当な答えを入れよ．
(1) 箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(ⅰ) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$\fbox{1}$である．
(ⅱ) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$\fbox{2}$である．
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ． \[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(ⅰ) $\cos A=\fbox{3}$である．
(ⅱ) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\fbox{}$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(ⅰ) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$\fbox{4}$．
(ⅱ) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$\fbox{5}$．
(4) $\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 \fbox{6}$である．
(5) ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$\fbox{7}$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$\fbox{8}$億$\mathrm{km}$である．