明治大学
2011年 理工学部 第4問
4
![2つの関数f(x)=2e^{-x}|sinx|,g(x)=√2e^{-x}を考える．方程式f(x)-g(x)=0(x≧0)の解を小さいものから順にx_1,x_2,x_3,・・・とする．(1)次の[さ]から[す]にあてはまるものを記入せよ．(i)x_k=[さ](k=1,2,3,・・・)である．(ii)a,bを定数とする．d/dx{e^{-x}(asinx+bcosx)}=2e^{-x}sinxが成り立つのは，a=[し]，b=[す]のときである．(2)S_n=∫_{x_{2n-1}}^{x_{2n}}(f(x)-g(x))dx(n=1,2,3,・・・)とおく．以下の解答は途中経過も書くこと．(i)S_1を求めよ．(ii)S_n(n=2,3,4,・・・)を求めよ．(iii)Σ_{n=1}^∞S_nを求めよ．](./thumb/294/800/2011_4.png)
4
$2$つの関数
\[ f(x)=2e^{-x} |\sin x|,\quad g(x)=\sqrt{2}e^{-x} \]
を考える．方程式$f(x)-g(x)=0 \ \ (x \geqq 0)$の解を小さいものから順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．
(1) 次の$\fbox{さ}$から$\fbox{す}$にあてはまるものを記入せよ．
(ⅰ) $x_k=\fbox{さ} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(ⅱ) $a,\ b$を定数とする． \[ \frac{d}{dx} \{e^{-x}(a \sin x+b \cos x)\}=2e^{-x} \sin x \] が成り立つのは，$a=\fbox{し}$，$b=\fbox{す}$のときである．
(2) $\displaystyle S_n=\int_{x_{2n-1}}^{x_{2n}} (f(x)-g(x)) \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．以下の解答は途中経過も書くこと．
(ⅰ) $S_1$を求めよ．
(ⅱ) $S_n \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(ⅲ) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
(1) 次の$\fbox{さ}$から$\fbox{す}$にあてはまるものを記入せよ．
(ⅰ) $x_k=\fbox{さ} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(ⅱ) $a,\ b$を定数とする． \[ \frac{d}{dx} \{e^{-x}(a \sin x+b \cos x)\}=2e^{-x} \sin x \] が成り立つのは，$a=\fbox{し}$，$b=\fbox{す}$のときである．
(2) $\displaystyle S_n=\int_{x_{2n-1}}^{x_{2n}} (f(x)-g(x)) \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．以下の解答は途中経過も書くこと．
(ⅰ) $S_1$を求めよ．
(ⅱ) $S_n \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(ⅲ) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
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