横浜国立大学
2010年 理系 第5問
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![各項が正の実数である数列{a_n}が,a_1=1と関係式a_{n+1}-a_n=√n(1+\frac{1}{a_n+a_{n+1}})(n=1,2,3,・・・)をみたしている.次の問いに答えよ.(1)a_n≧√n(n=1,2,3,・・・)を示せ.(2)Σ_{k=1}^{n-1}√k≦2/3(n^{3/2}-1)(n=2,3,4,・・・)を示せ.(3)a_n≦2/3n^{3/2}+1/2n-1/6(n=1,2,3,・・・)を示せ.](./thumb/306/2012/2010_5.png)
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各項が正の実数である数列$\{a_n\}$が,$a_1=1$と関係式
\[ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{a_n+a_{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている.次の問いに答えよ.
(1) $a_n \geqq \sqrt{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ.
(3) $\displaystyle a_n \leqq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}n -\frac{1}{6} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(1) $a_n \geqq \sqrt{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ.
(3) $\displaystyle a_n \leqq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}n -\frac{1}{6} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
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