明治大学
2016年 商学部 第3問
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$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする.$n$チームが参加するサッカーの大会がある.この大会では,全てのチームが$k$回の試合を行う.但し,その$k$試合の対戦相手は,全て異なるとする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $n=4,\ k=2$の場合の大会が,何通りあるかもとめよ.
(2) $n=6,\ k=3$のとき,$1$つの大会の試合の総数をもとめよ.
(3) 一般に,この大会が成立するためには,$n$か$k$のどちらかが,偶数でなければならないことを示せ.
(4) 各試合の両チームの得点を全て合計し,試合数で割った値を,その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする.
$n=9$のとき,各チームが$k$試合行う大会における,$1$試合の平均得点が,$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする.$1$つの大会における総得点が,もっとも多くなる$k$をもとめよ.
(1) $n=4,\ k=2$の場合の大会が,何通りあるかもとめよ.
(2) $n=6,\ k=3$のとき,$1$つの大会の試合の総数をもとめよ.
(3) 一般に,この大会が成立するためには,$n$か$k$のどちらかが,偶数でなければならないことを示せ.
(4) 各試合の両チームの得点を全て合計し,試合数で割った値を,その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする.
$n=9$のとき,各チームが$k$試合行う大会における,$1$試合の平均得点が,$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする.$1$つの大会における総得点が,もっとも多くなる$k$をもとめよ.
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