次の空所$\fbox{ア}$～$\fbox{ソ}$を埋めよ．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある． \imgc{672_2270_2014_2}
(1) $\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エオ}}$である．
(2) 辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$倍である．
(3) $\displaystyle x=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{シス}}}{\fbox{セソ}}$である．