$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 4)$，$\mathrm{C}(0,\ 4)$を頂点とする長方形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}(5,\ m)$，$\mathrm{Q}(n,\ 4)$がある．また，$\angle \mathrm{POQ}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とする．
(1) $\tan \theta$を$m$で表すと$\displaystyle \tan \theta=\frac{m}{\fbox{ア}}$である．$\tan (\theta+{45}^\circ)$を$n$で表すと$\displaystyle \tan (\theta+{45}^\circ)=\frac{\fbox{イ}}{n}$である．
(2) $(1)$の結果を利用して，$m$を$n$で表すと，$\displaystyle m=\frac{\fbox{ウエ}}{n+4}-\fbox{オ}$である．また，$n$の値の範囲は$\displaystyle \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \leqq n \leqq \fbox{ク}$である．
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S$を$n$で表すと
$\displaystyle S=\fbox{ケコ}-\frac{\fbox{サシ}n}{n+4}+\frac{\fbox{ス}}{2}n$
\quad $\displaystyle =\frac{\fbox{セ}}{2}(n+4)-\frac{\fbox{ソタ}(n+4)-\fbox{チツ}}{n+4}$
\quad $\displaystyle =\frac{\fbox{セ}}{2}(n+4)+\frac{\fbox{チツ}}{n+4}-\fbox{ソタ}$となる．
したがって，$S$の最小値は$\fbox{テト}(\sqrt{\fbox{ナ}}-1)$となり，そのとき，$n=\fbox{ニ}(\sqrt{\fbox{ヌ}}-1)$である．