一般項が，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$で与えられる数列$\{a_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．
このとき，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される．
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと，$\alpha+\beta=\fbox{ア}$，$\alpha\beta=\fbox{イウ}$となる．
ここで
$a_1=\fbox{エ}$，$a_2=\fbox{オ}$ \hfill $\cdots\cdots\maruichi$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である．
このとき \[ \begin{array}{rcl} a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\ \displaystyle\phantom{\frac{\fbox{}}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+\fbox{カ}}-\beta^{n+\fbox{キ}} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\} \end{array} \] となり \[ a_{n+2}=\fbox{ク} a_{n+1}+\fbox{ケ}a_n \hfill \cdots\cdots\maruni \] が成り立つ．よって$\maruichi$，$\maruni$より，$a_3=\fbox{コ}$，$a_4=\fbox{サ}$，$\cdots$となり，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された．