茨城大学
2010年 工学部 第3問
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点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ -1)$がある.このとき,以下の各問に答えよ.
(1) 実数$s,\ t$によって,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える.$s,\ t$が$s+2t \leqq 2$,$s \geqq 0$,$t \geqq 0$を満たしながら動くとき,点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ.さらに,その範囲が表す図形を図示せよ.
(2) 実数$u$によって,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{QA}}+2u\overrightarrow{\mathrm{QB}}$で定められる点$\mathrm{Q}$を考える.$u$が$0 \leqq u \leqq 1$を満たしながら動くとき,点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を求めよ.さらに,その範囲が表す図形を図示せよ.
(3) (1)で得られた図形が,(2)で得られた図形によって$2$つの図形に分割される.この$2$つの図形の面積をそれぞれ$S,\ T \ \ (S \leqq T)$とおくとき,$\displaystyle \frac{S}{T}$の値を求めよ.
(1) 実数$s,\ t$によって,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える.$s,\ t$が$s+2t \leqq 2$,$s \geqq 0$,$t \geqq 0$を満たしながら動くとき,点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ.さらに,その範囲が表す図形を図示せよ.
(2) 実数$u$によって,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{QA}}+2u\overrightarrow{\mathrm{QB}}$で定められる点$\mathrm{Q}$を考える.$u$が$0 \leqq u \leqq 1$を満たしながら動くとき,点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を求めよ.さらに,その範囲が表す図形を図示せよ.
(3) (1)で得られた図形が,(2)で得られた図形によって$2$つの図形に分割される.この$2$つの図形の面積をそれぞれ$S,\ T \ \ (S \leqq T)$とおくとき,$\displaystyle \frac{S}{T}$の値を求めよ.
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