三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする．
三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし，その半径を$a$とする．また，円$\mathrm{O}_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$，円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，円周率は$\pi$を用いるものとする．
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(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である．
(2) 円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき， \[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \] を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．
(3) $L=W$が成り立つとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい．
\end{mawarikomi}