$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 1)$，$\mathrm{P}_2(1,\ 2)$があり，以下の条件$\tokeiichi$，$\tokeini$，$\tokeisan$をすべて満たすように$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$，$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$，$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\cdots$を定めるものとする．
$\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}|=\frac{1}{3} |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1}}| \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{\pi}{4} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$\tokeisan$ \ \ $x_n \geqq x_{n-1} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}$を成分で表しなさい．
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k-1} \mathrm{P}_{2k}} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(3) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k} \mathrm{P}_{2k+1}} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=X$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=Y$とおく．このとき$n$を限りなく大きくすると，点$\mathrm{P}_n$は点$\mathrm{P}(X,\ Y)$に限りなく近づいていく．$X,\ Y$を求めなさい．