聖マリアンナ医科大学
2015年 医学部 第1問
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![以下の(1)～(4)の[1]～[4]に適切な値を答えなさい．ただし，eは自然対数の底とする．(1)A=e^2とするとき，8(1+cos^3π/18)log_Ae-3/2(1+cosπ/18)log_eA=[1]である．(2)bを正の定数，xを正の実数とする．方程式log_ex=bxが異なる2つの実数解をもつのは0＜b＜[2]のときである．(3)数列{c_n}(n=1,2,3,・・・)を，初項1，公差2の等差数列とする．数列{c_n}の初項から第n項までの和S_nに対してT_n=log_eS_n，U_n=e^{T_n}と定義する．数列{U_n}の初項から第24項までの和の値は[3]となる．(4)定積分∫_0^D\frac{2e^x}{2e^x+3}dxの値は[4]である．ただし，D=log_e3とする．](./thumb/320/896/2015_1.png)
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以下の$(1)$～$(4)$の$\fbox{$1$}$～$\fbox{$4$}$に適切な値を答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1) $A=e^2$とするとき， \[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=\fbox{$1$} \] である．
(2) $b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<\fbox{$2$}$のときである．
(3) 数列$\{c_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$\fbox{$3$}$となる．
(4) 定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$\fbox{$4$}$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．
(1) $A=e^2$とするとき， \[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=\fbox{$1$} \] である．
(2) $b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<\fbox{$2$}$のときである．
(3) 数列$\{c_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$\fbox{$3$}$となる．
(4) 定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$\fbox{$4$}$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．
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