聖マリアンナ医科大学
2012年 医学部 第3問
3
![関数f(x)は，(i)f(\frac{√3}{3})=2(ii)∫_0^t\sqrt{1+{f´(x)}^2}dx=t^3+t(t＞0)を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．(1)この条件を満たす関数f(x)はf(x)=[1]またはf(x)=[2]である．(2)曲線y=[1]および曲線y=[2]の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，[1]，[2]は(1)で求めた関数とする．(3)点(x,y)が(2)の2曲線y=[1]およびy=[2]で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，√7x+3yの最小値を求めなさい．](./thumb/320/896/2012_3.png)
3
関数$f(x)$は，
$\displaystyle \tokeiichi \ \ f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle \tokeini \ \ \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t \ \ (t>0)$
を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．
(1) この条件を満たす関数$f(x)$は \[ f(x)=\fbox{$1$} \] または \[ f(x)=\fbox{$2$} \] である．
(2) 曲線$y=\fbox{$1$}$および曲線$y=\fbox{$2$}$の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$は$(1)$で求めた関数とする．
(3) 点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=\fbox{$1$}$および$y=\fbox{$2$}$で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい．
$\displaystyle \tokeiichi \ \ f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle \tokeini \ \ \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t \ \ (t>0)$
を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．
(1) この条件を満たす関数$f(x)$は \[ f(x)=\fbox{$1$} \] または \[ f(x)=\fbox{$2$} \] である．
(2) 曲線$y=\fbox{$1$}$および曲線$y=\fbox{$2$}$の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$は$(1)$で求めた関数とする．
(3) 点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=\fbox{$1$}$および$y=\fbox{$2$}$で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい．
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