空間内に，同じ平面上にない$4$つの点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$，$\mathrm{G}^\prime$とし，線分$\mathrm{OC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$なる定数である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の$\fbox{$1$}$から$\fbox{$10$}$に答えなさい．
このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{$1$} \overrightarrow{a}+\fbox{$2$} \overrightarrow{b}+\fbox{$3$} \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\fbox{$4$} \overrightarrow{a}+\fbox{$5$} \overrightarrow{b}+\fbox{$6$} \overrightarrow{c}$である．また線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$が交わるとき$t=\fbox{$7$}$であり，線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$の交点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$\fbox{$8$}:\fbox{$9$}$に内分する．さらに，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{15}$で，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するならば，$|\overrightarrow{c}|=\fbox{$10$}$である．
なお，この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{m}$は，実数$u,\ v,\ w$を用いて， \[ \overrightarrow{m}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}+w \overrightarrow{c} \] の形に表すことができ，しかも，表し方はただ$1$通りである．