愛媛大学
2016年 理学部・工学部 第3問
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$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$,$g(x)=x$,$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく.$x_0=1$とし,$2$枚の硬貨を繰り返して投げ,$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める.
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表,$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また,$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする.
(1) すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ.
(2) $p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ.
(3) $p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $p_n-r_n$を求めよ.
(5) $p_n$を求めよ.
(1) すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ.
(2) $p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ.
(3) $p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $p_n-r_n$を求めよ.
(5) $p_n$を求めよ.
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