福島県立医科大学
2013年 医学部 第2問
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![一辺の長さが8である正四面体OABCの辺OA,OB,OC上に点D,E,Fがあって,AD=OE=OF=5を満たしている.△DEFの重心Gを通り△DEFを含む平面に垂直な直線が,△ABCを含む平面と交わる点をHとする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとして,以下の問いに答えよ.(1)ベクトルOGをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)ベクトルOHをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(3)四面体DEFHの体積を求めよ.](./thumb/79/2310/2013_2.png)
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一辺の長さが$8$である正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$があって,$\mathrm{AD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=5$を満たしている.$\triangle \mathrm{DEF}$の重心$\mathrm{G}$を通り$\triangle \mathrm{DEF}$を含む平面に垂直な直線が,$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面と交わる点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) 四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) 四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ.
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