前橋工科大学
2016年 工学部 第1問
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$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$a_n=2^n$とする．自然数$N$に対して，$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_N$から重複なしにいくつかを選んで和をとるという操作を考える．例えば，$N=1$のときには，この操作によって自然数$1,\ 2,\ 3$を作ることができる（$1=a_0,\ 2=a_1,\ 3=a_0+a_1$）．次の問いに答えなさい．
(1) $N=2$のとき，$7$以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい．
(2) この操作によって作ることのできる最大の自然数は$2^{N+1}-1$であることを示しなさい．
(3) 自然数$N$に対して，$2^{N+1}-1$以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる．このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(4) この操作によって$253$を作ることのできる最小の$N$の値を求めなさい．
(1) $N=2$のとき，$7$以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい．
(2) この操作によって作ることのできる最大の自然数は$2^{N+1}-1$であることを示しなさい．
(3) 自然数$N$に対して，$2^{N+1}-1$以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる．このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(4) この操作によって$253$を作ることのできる最小の$N$の値を求めなさい．
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