$A,\ B,\ C,\ D$の$4$つの箱がある．箱$A$には$8$個の白球と$8$個の黒球が入っている．箱$B$には$3$個の白球と$3$個の黒球が入っている．箱$C$と箱$D$は空である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 箱$A$から同時に$2$個の球を取り出す．取り出された$2$個の球が共に白球である確率$p_1$，取り出された$2$個の球が共に黒球である確率$p_2$，取り出された$2$個の球が白球と黒球である確率$p_3$を求めよ．
(2) 箱$A$から取り出された$2$個の球が白球か黒球の一色のみのとき，箱$B$からこの色の球$3$個を箱$C$に移す．一方，箱$A$から取り出された$2$個の球が白球と黒球のとき，箱$B$から白球$2$個と黒球$1$個を箱$C$に移す．次に，箱$C$から$1$個の球を取り出し，この球を箱$D$に移す．このとき，箱$D$の球が白球である確率$q_1$と黒球である確率$q_2$を求めよ．
(3) 箱$A$から取り出された$2$個の球を箱$A$に戻した後に箱$A$から$1$個の球を取り出し，箱$B$に移す．次に，箱$D$に入っている$1$個の球を箱$A$に移す．以上の操作が完了した後の箱$A$に入っている黒球の個数が$6$となる確率$r_1$，$7$となる確率$r_2$，$8$となる確率$r_3$，$9$となる確率$r_4$，$10$となる確率$r_5$を求めよ．