さいころを$2$回続けて投げる．出た目の数の積を$A$とし，$B=\sqrt{A}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2) $\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3) $\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4) $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．